题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ 在区间（0，4]上是增函数，则实数a的取值范围为________．

$\text{[math]}$
分析：先看分母，当a-1＞0，即a＞1时，要使“f（x）在（0，4]上是增函数”，则分子 t= $\text{[math]}$ 为增函数；当a-1＜0，即a＜1时，要“使f（x）在（0，4]上是增函数”则分子 t= $\text{[math]}$ 是减函数，且3-a×4≥0成立，两种情况的结果最后取并集．
解答：当a-1＞0，即a＞1时，此时分子t= $\text{[math]}$ 为减函数．
故f（x）在（0，4]上是减函数，不满足要求；
当a-1＜0，即a＜1时，要使f（x）在（0，4]上是增函数，则需a＞0，
且3-a×4≥0成立，解得 $\text{[math]}$
综上所述，所求实数a的取值范围是 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题主要考查函数的定义域及其单调性的应用，在解题时，要注意复合函数性质的应用及考虑定义域，属中档题．

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