Question

（14分）已知函数，，记.
（1）若，且在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；
（3）若，设函数的图象与函数图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点、，请判断在点处的切线与在点处的切线能否平行，并说明你的理由.

Answer 1

（1）不等式，函数 ，，，先增后减
最大值为，     
（2），
则
当时，时，，函数为减函数；
当a>0时，y=ax²+2x－1为开口向上的抛物线，ax²+2x－1>0总有x>0的解；
当a<0时，y=ax²+2x－1为开口向下的抛物线，而ax²+2x－1>0总有x>0的解；则△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此时，
－1<a<0，
综上：
（3）不能平行。
设点P、Q的坐标分别是（x₁, y₁），（x₂, y₂），0<x₁<x₂.
则点M、N的横坐标为
假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行得：
，点P、Q的坐标代入函数表达式
两式相减得：
设则令
得用导数得在）上单调递增. 故
所以不成立，即两切线不可能平行。

略