Question

如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且|OB|=|OD|=6．
（Ⅰ）求证：|OA|．|OC|为定值；
（Ⅱ）当点A在半圆（x-2）²+y²=4（2≤x≤4）上运动时，求点C的轨迹．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题目给出的条件四边形ABCD为菱形，且|OB|=|OD|，得到O、A、C三点共线，连结BD，则BD垂直平分线段AC，设垂足为K，然后把|OA|•|OC|通过|0K|和|AK|转化为用|OB|和|AB|表示，则答案可证；
（Ⅱ）设出C点坐标，把A的坐标用∠XMA表示，得到|OA|，结合（Ⅰ）中结论求出C的横坐标为定值5，进一步求出C的纵坐标的范围，则点C的轨迹可求．

解答：解：（Ⅰ）如图，
∵|OB|=|OD|，|AB|=|AD|=|BC|=|CD|，∴O、A、C三点共线，
连结BD，则BD垂直平分线段AC，设垂足为K，于是有
|OA|•|OC|=（|OK|-|AK|）（|OK|+|AK|）
=|OK|²-|AK|²=（|OB|²-|BK|²）（|AB|²-|BK|²）
=|OB|²-|AB|²=6²-4²=20（定值）；
（Ⅱ）设C（x，y），A（2+2cosα，sinα），其中α=∠XMA（-

π

2

≤α≤

π

2

），
则∠XOC=

α

2

．
∵|OA|²=（2+2cosα）²+（2sinα）²=8（1+cosα）=16cos2

α

2

，
∴|OA|=4cos

α

2

．
由（Ⅰ）的结论得：|OC|cos

α

2

=5，∴x=|OC|cos

α

2

=5．
从而y=|OC|sin

α

2

=5tan

α

2

∈[-5，5]．
故点C的轨迹是一条线段，其两个短点的坐标分别为A（5，5），B（5，-5）．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，解答的关键是利用平面几何知识把未知长度的式子转化为已知长度的式子，是中档题．