Question

数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=a_n+1．
（1）写出a₂，a₃，a₄．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过a₁=1，a_n+1=a_n+1．利用n=2，3，4，即可求出a₂，a₃，a₄．
（2）解法一：通过（1）猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法证明；
解法二：构造{b_n}是以b₁=-1，为公比的等比数列，求出b_n然后求数列{a_n}的通项公式．
解答：解：（1）因为，
所以，
，
．-------------------（3分）
（2）解法一：猜想：．下面用数学归纳法证明，
证明：（1）当n=1时，，满足上式，显然成立；-------------------（4分）
（2）假设当n=k时，那么当n=k+1时，满足上式，
即当n=k+1时猜想也成立．-------------------（7分）
由（1）（2）可知，对于n∈n^*都有．------------------（8分）
解法二：因为，所以，即，-------（4分）
设b_n=a_n-2，则，即{b_n}是以b₁=-1，为公比的等比数列，
所以，------------------（7分）       
 所以．-----------------（8分）
点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，猜想必须利用数学归纳法证明．