Question

（2012•河西区二模）已知函数f（x）=

x2，x≥0 -x2，x＜0

，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A．[

  2

  ，+∞）
• B．（

  2

  ，+∞）
• C．（0，2]
• D．[-

  2

  ，-1]∪[

  2

  ，

  3

  ]

Answer 1

分析：首先考虑特殊值从而判断t的符号，然后根据f（x+t）≥2f（x）代入解析式，最后根据恒成立的方法即可求出所求．

解答：解：首先考虑特殊值
∵对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立
∴f（t+t）=f（2t）≥2f（t）
若t＜0则f（2t）=-f（-2t）=-4t²，f（t）=-f（-t）=-t²，∴-4t²≥-2t²这不可能
故t≥0
∵当∈[t，t+2]时，有x+t≥2t≥0，x≥t≥0
∴当x∈[t，t+2]时，不等式f（x+t）≥2f（x）即（x+t）²≥2x²，∴x+t≥

2

x
∴t≥(

2

-1)x对于x∈[t，t+2]恒成立
∴t≥(

2

-1)(t+2)∴t≥

2

故选A．

点评：本题主要考查了函数的单调性与奇偶性，以及函数恒成立问题，解题的关键分析t的符号，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．