Question

(本小题满分14分)如图，在长方体中，，，点在棱上移动．

⑴ 证明：//平面；
⑵证明：⊥；
⑶ 当为的中点时，求四棱锥的体积.

Answer 1

(1)证明：见解析；(2) 证明：见解析；(3) E-ACD₁的体积为．

试题分析：（1）利用线线平行的来证明线面平行。
（2）由AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D?平面AA₁DD₁，知A₁D⊥AE，再由AA₁DD₁为正方形，利用直线与平面垂直的性质，能够证明A₁D⊥D₁E．
（3） 设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，先求出△AD₁C和△ACE的面积，再求出三棱锥D₁-AEC的体积，由此能够求出点E到面ACD₁的距离．进而得到体积。
(1)证明：∵ ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体
∴AB// D₁C₁，AB=D₁C₁，   ……1分
∴AB C₁ D₁为平行四边形，……2分
∴B C₁ // AD₁，         ……3分
又B C₁平面ACD₁，AD₁Ì平面ACD₁， ……4分
所以BC₁//平面ACD₁.   ……5分
(2) 证明：∵ AE⊥平面AA₁D₁D，A₁DÌ平面AA₁D₁D，
∴ A₁D⊥AE，                         ……6分
AA₁D₁D为正方形，∴A₁D⊥A D₁，                                 ……7分
又A₁D∩AE =A，∴A₁D⊥平面AD₁E，                               ……9分
A₁DÌ平面AD₁E，∴A₁D⊥D₁E，                                   ……10分
(3) 解：，      ……12分
                          ……13分
所以E-ACD₁的体积为．                                 ……14分
点评：解决该试题的关键是对于线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理的灵活运用和熟练掌握，同时对于体积的求解，一般就是研究几何体的高既可以得到。