Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若函数在区间上无零点，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）2.

【解析】

（1）求出导数，即可求解单调区间；

（2）对分类讨论，根据函数的单调性，判断函数零点，得到的取值范围.

（1），定义域.

，

令得，

令得，

因此，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；

（2）

①当时，，函数在区间上单调递减，且，

所以时，函数在区间上无零点；

②当时，令得，

令得，令得，

因此，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（i）当即时，

函数的单调递减区间是，所以，

所以时，函数在区间上无零点；

（ii）当即时，

函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

所以且，

所以时，函数在区间上有零点，不成立，

所以，

综上实数的最大值是2.