Question

【题目】已知椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，过椭圆C的右顶点B任作一条直线，交抛物线于A,B两点，且，

（1）试求椭圆C的方程；

（2）过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，M,N是椭圆上位于直线两侧的两点.若，求证：直线MN的斜率为定值.

Answer 1

【答案】（1）椭圆C的方程 （2）

【解析】

（1）根据椭圆与双曲线焦点相同，可得，设右顶点为，直线的方程为，联立其与抛物线的方程，根据，结合韦达定理可得的值，进而得椭圆的方程；（2）由得直线的斜率之和为0，直线的斜率为，则直线的斜率为，，将直线，直线的方程分别与椭圆方程联立，求出，，结合斜率计算公式即可得结果.

（1）由双曲线的焦点为，可知，右顶点为，

设直线的方程为，，整理可得，

∴ ，

∵,可知，即：，

∴，，可知椭圆的方程为

（2）易知点的坐标分別为

若，则直线的斜率之和为0.

设直线的斜率为，则直线的斜率为， ，

直线的方程为，由

可得，∴，

同理直线的方程为， 可得

∴，

.