Question

18．定义在R上的奇函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（-x），当x∈（0，2）时，f（x）=4^x，则f（2015）=-4．

Answer 1

分析 根据条件f（x+2）=f（-x），得到函数的周期是4，利用函数的奇偶性，将条件进行转化即可得到结论．

解答 解：∵f（x+2）=f（-x），f（x）关于x=1对称，函数是奇函数，f（x+2）=f（-x）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），可得函数是周期函数．
∴函数f（x）的周期是4，
∴f（2015）=f（504×4-1）=f（-1）=-f（1），
∵当x∈（0，2）时，f（x）=4^x，
∴f（1）=4，
∴f（2015）=-f（1）=-4，
故答案为：-4．

点评 本题主要考查函数值的计算，抽象函数的应用，根据函数奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．