Question

11．已知集合A={x|1≤x≤4}，f（x）=x²+px+q和g（x）=x+$\frac{4}{x}$是定义在A上的函数，且在x₀处同时取到最小值，并满足f（x₀）=g（x₀）．求f（x）在A上的最大值．

Answer 1

分析 根据对勾函数的图象和性质，结合已知可得f（x）=x²+px+q在x=2时，取最小值4，进而求出p，q的值，结合二次函数的图象和性质，可得f（x）在A上的最大值．

解答 解：由对勾函数的图象和性质可得：
g（x）=x+$\frac{4}{x}$在x=2时，取最小值4，
故f（x）=x²+px+q在x=2时，也取最小值4，
故$-\frac{p}{2}$=2，$\frac{4q-{p}^{2}}{4}$=4，
解得：p=-4，q=8，
∴f（x）=x²-4x+8，
∴当x=4时，f（x）取最大值8．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．