Question

3．函数f（x）=asinx-bcosx，若f（$\frac{π}{4}$+x）=-f（$\frac{π}{4}$-x），则函数y=f（$\frac{3π}{4}$-2x）的一条对称轴方程是（　　）

• A． x=$\frac{π}{6}$
• B． x=$\frac{π}{4}$
• C． x=-$\frac{3π}{2}$
• D． x=-$\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由题意，f（$\frac{π}{4}$）=0，求得a=b，故f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$asin（x-$\frac{π}{4}$）．化简函数y=f（$\frac{3π}{4}$-2x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$acos2x，可得它的图象的一条对称轴方程．

解答 解：函数f（x）=asinx-bcosx，若f（$\frac{π}{4}$+x）=-f（$\frac{π}{4}$-x），则f（x）的图象关于点（$\frac{π}{4}$，0）对称，
即 f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=0，故 a=b，故f（x）=a（sinx-cosx）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$asin（x-$\frac{π}{4}$）．
则函数y=f（$\frac{3π}{4}$-2x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$asin（$\frac{3π}{4}$-2x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$asin（$\frac{π}{2}$-2x ）═$\frac{\sqrt{2}}{2}$acos2x 的一条对称轴方程是x=-$\frac{3π}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，三角函数的图象的对称性，诱导公式，余弦函数的图象的对称轴，属于中档题．