Question

【题目】已知圆：，直线：.

（1）求直线所过定点的坐标；

（2）求直线被圆所截得的弦长最短时的值；

（3）已知点，在直线（为圆心）上存在定点（异于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），2

【解析】

（1）把直线方程整理为关于的恒等式，由恒等式知识可得定点坐标；

（2）定点在圆内，因此在时弦长最短，由此可得值；

（3）直线的方程为，假设存在定点满足题意，设，把结合在圆上整理为关于的恒等式，从而求得，得点坐标．

（1）依题意得，

令且，得，

直线过定点.

（2）当时，所截得弦长最短，由题知，

，得，由得.

（3）由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，

则设，，得，且

整理得，

上式对任意恒成立，且

解得，说以，（舍去，与重台），，

综上可知，在直线上存在定点，使得为常数2