Question

已知幂函数f（x）=x^a，一次函数g（x）=2x+b，且知函数f（x）•g（x）的图象过（1，2），函数

f(x)

g(x)

的图象过(

2

，1)，若函数h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的解析式并判断函数h（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：利用函数f（x）•g（x）的图象过（1，2），即f（1）g（1）=2，即可解得b值，利用函数

f(x)

g(x)

的图象过(

2

，1)，即

f( 2 )

g( 2 )

=1，即可解得a值，从而确定函数f（x）、g（x）的解析式，进而有了h（x）的解析式，最后利用函数奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可

解答：解：∵函数f（x）•g（x）=x^a（2x+b）过点（1，2），
∴1^a×（2×1+b）=2，得b=0，
又∵函数

f(x)

g(x)

=

xa

2x+b

=

1

2

xa-1的图象过(

2

，1)，
∴

1

2

•(

2

)a-1=1，即(

2

)a-1=(

2

)2，得a=3，
∴f（x）=x³，g（x）=2x
∴h（x）=f（x）+g（x）=x³+2x
又∵函数h（x）的定义域为x∈R，且h（-x）=（-x）³+2（-x）=-（x³+2x）=-h（x），
∴h（x）为奇函数

点评：本题主要考查了函数图象与函数解析式间的关系，函数奇偶性的定义，函数奇偶性的判断方法，属基础题