Question

给出下面的数表序列：

其中表n(n=1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
(Ⅰ)写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)（不要求证明）；
(Ⅱ)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{b_n}，求和：
。

Answer 1

解：(Ⅰ)表4为
，
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列，
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列，
简证如下（对考生不作要求）
首先，表n(n≥3)的第1行1，3，5，…，2n-1是等差数列，其平均数为，
其次，若表n的第k(1≤k≤n-1)行a₁，a₂，…，a_n-k+1是等差数列，则它的第k+l行a₁+a₂，a₂+a₃，…，a_n-k+a_n-k+1也是等差数列．由等差数列的性质知，表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是
，
由此可知，表n(n≥3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
(Ⅱ)表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是，
由(Ⅰ)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中的数的平均数是n·2^k-1），
于是，表n中最后一行的唯一一个数为b_n=n·2^n-1，
因此，
，
故

。