Question

给出下面的数表序列：

其中表n（n=1，2，3 …）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12…，记此数列为{b_n}求和：

b3

b1b2

+

b4

b2b3

+…

bn+2

bnbn+1

（n∈N⁺）

Answer 1

分析：（1）根据表1，表2，表3的规律可写出表4，然后求出各行的平均数，可确定等比数列的首项和公比，进而推广到n．
（2）先求出表n的首项的平均数，进而可确定它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列，进而得到表中最后一行的数b_n=n•2^n-1，再化简通项

bk+2

bkbk+1

，最后根据裂项法求和．

解答：解：（I）表4为
1   3   5   7
4   8  12
12  20
32
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列
将这一结论推广到表n（n≥3），即
表n（n≥3）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
（II）表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是

1+3+5+…+(2n-1)

n

=n
由（I）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中数的平均数是
n•2^k-1），于是，表中最后一行的唯一一个数为b_n=n•2^n-1．
因此

bk+2

bkbk+1

=

(k+2)2k+1

k•2k-1•(k+1)•2k

=

k+2

k(k+1)•2k-2

=

2(k+1)-k

k(k+1)•2k-2

=

1

k•2k-3

-

1

(k+1)•2k-2

（k=1，2，…，n）
故

b3

b1b2

+

b4

b2b3

+…+

bn+2

bnbn+1

=（

1

1×2-2

-

1

2×2-1

）+（

1

2×2-1

-

1

3×20

）+…+[

1

n×2n-3

-

1

(n+1)×2n-2

]
=

1

1×2-2

-

1

(n+1)×2n-2

=4-

1

(n+1)×2n-2

．

点评：本题主要考查数列求和和等比数列的性质．数列求和是高考的必考点，一般有公式法、裂项法、错位相减法等，都要熟练掌握．