Question

抛物线y²=4x的焦点在直线y=x-1上滑动,对称轴作平行移动,试问能否滑到使抛物线截直线y=x+4所得的弦长与截y轴所得的弦长相等?若能,求出抛物线的方程;若不能,请说明理由.

Answer 1

思路分析:由题设写出抛物线的焦点在直线y=x-1上任一点时的方程,与直线y=x+4联立,运用弦长公式求解.

解:设满足条件的抛物线存在,并设抛物线的焦点坐标为(a,a-1),则顶点坐标为(a-1,a-1),则抛物线方程为(y-a+1)²=4(x-a+1).         ①

令x=0.由①得y²+2(1-a)y+(1-a)²-4(1-a)=0,截y轴所得弦长|AB|=|y₁-y₂|=

.

再将y=x+4代入①整理得x²+4(1-a)x+4(a²-6a+21)=0.截y=x+4所得弦长|CD|= |x₁-x₂|=.

由|AB|=|CD|,∴16(1-a)=20(4a-20).

∴a=.此时抛物线方程为(y-)²=4(x-).