Question

【题目】设函数 .

(I)讨论的单调性；

(Ⅱ)当时，讨论的零点个数.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)当时，共有3个零点.

【解析】

（I）求出导函数 f'（x）=2（x﹣1）（1nx+a）（x＞0）．通过①当a=0时，②当a＞0时，③当a＜0时，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性．

（Ⅱ）当a＜﹣2时，由（I）知f（x）在（0，1）上递增，（1，e﹣a）上递减，（e﹣a，+∞）上递增，当x∈（0，1）时存在x0，使f（x0）＜0．推出函数f（x）在（0，1）上的单调性，可知f（x）在（0，1）上有唯一的一个零点．说明在x∈（e﹣a，+∞）上，存在x1，使f（x1）＞0，然后推出f（x）当a＜﹣2时，共有3个零点．

(I) .

①当时， ，当时， ，

当时， ，当时， .在递增

②当时，令，得，此时.

易知在递增， 递减， 递增

③当时， .易知在递增， 递减， 递增

(Ⅱ)当时，由(I)知在上递增， 上递减， 上递增，

且 ，将代入，

得

，

下面证明 当时存在，使.

首先，由不等式，，.

考虑到，

.

再令，可解出一个根为，

，，就取.

则有.由零点存在定理及函数在上的单调性，可知在上有唯一的一个零点.

由，及的单调性，可知在上有唯一零点.

下面证明在上，存在，使，就取，则，

，

由不等式，则，即.

根据零点存在定理及函数单调性知在有一个零点.

综上可知，当时，共有3个零点.