Question

【题目】已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数恰好有2个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；时，增区间是，减区间是；（2）.

【解析】

（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）分4种情况讨论，分别利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理，可筛选出符合题意的实数的取值范围.

（1），当时，，在上单调递增；

当时，由得，由得，

所以， 增区间是，单调减区间是；

（2）由（1），当a≤0时，f（x）在R递增，没有2个零点；

当a＝1时，f（x）f（0）＝0，故f（x）仅有1个零点，

当时，已知f（0）＝0，故f（﹣lna）>0，

取f（﹣2lna）＝-（+2lna﹣a），再令函数g（a）＝+2lna﹣a，

故g′（a）＝﹣＜0，故g（a）＞g（1）＝0，故f（﹣2lna）<0，

f（x）在（﹣lna，﹣2lna）上也有1个零点， 符合题意；

当a＞1时，f（0）＝0，故f（﹣lna）>0，

取，得f（x）在（﹣a，﹣lna）上也有1个零点，符合题意，

综上，若f（x）恰有2个零点，则a∈（0，1）∪（1，+∞）．