题目内容
设椭圆
+
=1和x轴正方向的交点为A，和y轴的正方向的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，使四边形OAPB面积最大（O为原点），那么四边形OAPB面积最大值为（ ）A．
abB．
abC．
abD．2ab
【答案】分析：利用三角函数来解答这道题，椭圆方程
+
=1 上 里面的自变量x，y可以表示为 x=acosa y=bsina，本题中要求第一象限，这样就应该有0＜a＜π，设P为（acosa，bsina）这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，计算两个三角形的面积并借助于三角公式即可求出OAPB面积的最大值．
解答：解：由于点P是椭圆
+
=1和上的在第一象限内的点，
设P为（acosa，bsina）即x=acosa y=bsina （0＜a＜π），
这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，
对于三角形OAP有面积S1=
absinα，对于三角形OBP有面积S2=
abcosα
∴四边形的面积S=S1+S2=
ab（sinα+cosα）
=
absin（a+
）
其最大值就应该为
ab，
并且当且仅当a=
时成立．所以，面积最大值 
ab．
故选B．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，解答的关键在于利用椭圆的参数方程设出椭圆上一点的坐标，利用三角函数的有界性求最值．
+=1 上 里面的自变量x，y可以表示为 x=acosa y=bsina，本题中要求第一象限，这样就应该有0＜a＜π，设P为（acosa，bsina）这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，计算两个三角形的面积并借助于三角公式即可求出OAPB面积的最大值．解答：解：由于点P是椭圆
+=1和上的在第一象限内的点，设P为（acosa，bsina）即x=acosa y=bsina （0＜a＜π），
这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，
对于三角形OAP有面积S1=
absinα，对于三角形OBP有面积S2=abcosα∴四边形的面积S=S1+S2=
ab（sinα+cosα）=
absin（a+）其最大值就应该为
ab，并且当且仅当a=
时成立．所以，面积最大值 ab．故选B．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，解答的关键在于利用椭圆的参数方程设出椭圆上一点的坐标，利用三角函数的有界性求最值．
练习册系列答案
相关题目
（2013•潍坊一模）如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N的右侧），且|MN|=3椭圆D：
＋
＝1和x轴正半轴交点为A，和y轴正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，那么四边形OAPB面积最大值为 ( )
ab B.
ab C.
ab D．2ab
＋
＝1和x轴正半轴交点为A，和y轴正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，那么四边形OAPB面积最大值为( )
ab B.
ab
C.
ab D．2ab