Question

如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域．
（1）若向该正方形内随机投一点，求该点落在阴影区域的概率？
（2）给正方形ABCD的四个顶点都作上一个标记，现有四种标记可供选择，记“任一线段上（四边）的两个顶点标记都不同”为事件A，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积，而满足条件的阴影区域，可以通过空白区域面得到，空白区域可以看作是由8部分组成，每一部分是由边长为

AB

2

的正方形面积减去半径为

AB

2

的四分之一圆的面积得到．
（2）先根据乘法原理计算出基本事件的总数，再对事件A进行分类讨论：包含：用两种标记，用三种标记，用四种标记，得出事件A包含的基本事件数，最后利用等可能事件的概率计算公式求解．

解答：解：（1）由题意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD的边长为2，
∵试验发生包含的所有事件是矩形面积S=2×2=4，
空白区域的面积是2（4-π）=8-2π，
∴阴影区域的面积为4-（8-2π）=2π-4
∴由几何概型公式得到P=

2π-4

4

=

π

2

-1，
（2）基本事件的总数4 ⁴
事件A包含：用两种标记，则ACBD颜色相同，A₄²种；
用三种标记，则AC或BD颜色相同有2A₄³种；
用四种标记有A₄⁴种
所以事件A包含的基本事件数为84种
所以P（A）=

21

64

点评：本题考查几何概型、等可能事件的概率，且把几何概型同几何图形的面积结合起来，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答．