Question

【题目】已知a为实数，函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[1，8]
【解析】解：解：令函数g（x）=x2﹣ax﹣2，由于g（x）的判别式△=a2+8＞0，故函数g（x）一定有两个零点，
设为 x1 和x2 ， 且 x1＜x2 ．
∵函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|= ，
故当x∈（﹣∞，x1）、（x2 ， +∞）时，
函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，
当x∈（x1 ， x2 ）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x2﹣ax﹣2下凹的一部分，且各段连在一起．
由于f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，
∴a＞0且函数g（x）较小的零点x1= ≥﹣1，
即a+2≥ ，
平方得a2+4a+4≥a2+8，得a≥1，
同时由y=2x2﹣ax﹣2的对称轴为 x= = ，
若且﹣1≤ ≤2，可得﹣4≤a≤8．
综上可得，1≤a≤8，
故实a的取值范围为[1，8]，
故答案为：[1，8]

根据绝对值的应用，将函数进行转化，结合一元二次不等式与一元二次函数之间的关系，结合函数的单调性的性质进行讨论判断．