Question

19．已知函数f（x）=|x-2|+2|x+1|，若f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 运用零点分区间的方法，化简f（x），求得f（x）的最小值，再由参数分离和恒成立思想，即可得到a的范围．

解答 解：当x≥2时，f（x）=x-2+2（x+1）=3x，
即有f（x）≥6；
当x≤-1时，f（x）=2-x-2x-2=-3x，
即有f（x）≥3；
当-1＜x＜2时，f（x）=2-x+2x+2=x+4，
即有3＜f（x）＜6．
即有f（x）的值域为[3，+∞）．
则x=-1时，f（x）取得最小值3，
由f（x）+a＞0恒成立，可得
-a＜f（x）的最小值，
即有-a＜3，可得a＞-3．

点评 本题考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离转化为求函数的最值问题，属于中档题．