Question

已知点M是圆C：上的一点，且轴，为垂足，点满足,记动点的轨迹为曲线E．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求面积S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设N（x,y）,M（），则由已知得，，，                     2分

代入得，．                                                        4分

所以曲线E的方程为.                                                           5分

(Ⅱ)方法一：

因为线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，

则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，

由，消去，并整理，得

.                                                          7分

设，，又,

所以，，                                                9分

因为,

所以，即，

所以，即，

因为，所以．　　                                                      12分

又点到直线的距离，

因为，

所以　                                            14分

所以，即的最大值为．                                                   15分

(Ⅱ)方法二：

因为线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，

则弦不能与垂直，故可设直线的方程为，

由，消去，并整理，得

.

设，，，，又，

所以，.                                                9分

因为，所以.

因为，

所以，

所以，                                                                  12分

又点到直线的距离，所以.

所以.     

设，则，                                              14分

所以，即的最大值为．                                                 15分

考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的判断和应用，弦长公式，三角形面积公式以及二次函数求最值等问题.

点评：直线与圆锥曲线的位置关系问题每年高考都会出现在压轴题的位置上，难度一般较大，关键是运算量大，所以在解决此类问题时，要注意设而不求、转化、数形结合等思想方法的综合应用.