Question

已知点M是圆C：x²+y²=2上的一点，且MH⊥x轴，H为垂足，点N满足NH=

2

2

MH，记动点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出动点M和N的坐标，由题意把M的坐标用N的坐标表示，代入圆的方程即可得到答案；
（Ⅱ）由题意设出直线AB的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与差，由弦长公式得到k和m的关系，由点O到AB的距离公式求出距离，代入面积公式后利用配方法求最值．

解答：（Ⅰ）解：（Ⅰ）设N（x，y），M（x′，y′），则由已知得，x′=x，y′=

2

y
代入x²+y²=2得，x²+2y²=2．
所以曲线E的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故
可设直线AB的方程为y=kx+m
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消去y，并整理，得
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0
所以，x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2(m2-1)

1+2k2

．
因为|AB|=2，
所以

(1+k2)(x2-x1)2

=2，即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4
所以(1+k2)[(-

4km

1+2k2

)2-

8(m2-1)

1+2k2

]=4，即

1

1+k2

=2(1-m2)，
因为1+k²≥1，所以

1

2

≤m2＜1．　　               
又点O到直线AB的距离h=

|m|

1+k2

，
因为S=

1

2

|AB|•h=h，
所以S²=h²=2m²（1-m²）=-2(m2-

1

2

)2+

1

2

．
所以0＜S2≤

1

2

，即S的最大值为

2

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，属压轴题．