Question

已知点M是圆C：x²＋y²＝2上的一点，且MH⊥x轴，H为垂足，点N满足＝，记动点N的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

Answer 1

 [解析]　(1)设N(x，y)，M(x′，y′)，则由已知得，x′＝x，y′＝y，

代入x²＋y²＝2得，x²＋2y²＝2.

所以曲线E的方程为＋y²＝1.

(2)因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为y＝kx＋m，

由消去y并整理得，

(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

又Δ＝16k²m²－4(1＋2k²)(2m²－2)>0，

所以x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，

因为|AB|＝2，

所以＝2，

即(1＋k²)[(x₂＋x₁)²－4x₁x₂]＝4，

所以(1＋k²)[(－)²－]＝4，

即m²＝，

因为k²≥0，所以≤m²<1.

又点O到直线AB的距离h＝，

因为S＝|AB|·h＝h，

所以S²＝h²＝＝.

令S²＝u,1＋k²＝t，则t≥1，∴1＋2k²＝2t－1，

∴S²＝，即u＝，u′＝≤0，

∴u＝在[1，＋∞)上单调递减，

∴t＝1时，u_max＝，

即S²≤，∴0<S≤，即S的最大值为.