Question

13．已知函数f（x）=x²+（sinα-2cosα）x+1是偶函数，则sinαcosα=$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 因为f（x）=x²+（sinα-2cosα）x+1是偶函数，所以sinα-2cosα=0，利用sin²α+cos²α=1，求出sinα、cosα，即可求出sinαcosα．

解答 解：因为f（x）=x²+（sinα-2cosα）x+1是偶函数，所以sinα-2cosα=0，
因为sin²α+cos²α=1，
所以cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinαcosα=$\frac{2}{5}$；
cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinαcosα=$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查同角三角函数关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．