Question

10．已知命题p：{x||x-1|＜c（c＞0）}，命题q：{x||x-3|＞4}，且￢p是q成立的充分且不必要条件，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 根据绝对值不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：由|x-1|＜c得1-c＜x＜1+c，即p：{x|1-c＜x＜1+c}，￢p：{x|x＞1+c或x＜1-c}，
由|x-3|＞4，得x-3＞4或x-3＜-4，得x＞7或x＜-1，即q：{x|x＞7或x＜-1}，
∵￢p是q成立的充分且不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+c≥7}\\{1-c≤-1}\\{c＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{c≥6}\\{c≥2}\\{c＞0}\end{array}\right.$得c≥6，
即实数c的取值范围是[6，+∞）．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．