题目内容

已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE= $数学公式$ AC，BD= $数学公式$ AB，点F在BC上，且CF= $数学公式$ BC．求证：
（1）EF⊥BC；
（2）∠ADE=∠EBC．

解：（1）设AB=3，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，
则E（0，1），F（1，2），B（3，0），C（0，3），
∴ $\text{[math]}$ =（1，1）， $\text{[math]}$ =（-3，3）
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-3+3=0，
∴EF⊥BC；
（2）∵D（2，0），A（0，0），
∴ $\text{[math]}$ =（-2，1）， $\text{[math]}$ =（-2，0），
∴| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |=2，又 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =4，
∴cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
同理可求cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ ，
∴＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞=＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞，
∴∠ADE=∠EBC．
分析：（1）设AB=3，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，从而可得到E，F，B，C的坐标，利用向量的数量积即可证得EF⊥BC；
（2）利用 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 数量积中的夹角的余弦即可证得∠ADE=∠EBC．
点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角，考查建立坐标系利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，属于中档题．