Question

9．数列{a_n}的前n项和S_n，a₁=1，S_n=5a_n+1（n∈N⁺），求a_n．

Answer 1

分析 n=1时，S₁=5a₂，解得a₂=$\frac{1}{5}$．当n≥2时，S_n-1=5a_n，利用a_n=S_n-S_n-1，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{6}{5}$，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：n=1时，S₁=5a₂，解得a₂=$\frac{1}{5}$．当n≥2时，S_n-1=5a_n，
∴a_n=S_n-S_n-1=5a_n+1-5a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{6}{5}$，
∴${a}_{n}={a}_{2}（\frac{6}{5}）^{n-2}$=$\frac{1}{5}$×$（\frac{6}{5}）^{n-2}$．
综上：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{5}•（\frac{6}{5}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．