Question

在数列{a_n}中，a₁=1，an=

an-1

3an-1+1

（n≥2）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）若λan+

1

an+1

≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=1，an=

an-1

3an-1+1

（n≥2），知

1

an

=

1

an-1

+3，由此能求出an=

1

3n-2

．
（Ⅱ）由an=

1

3n-2

.λan+

1

an+1

≥λ对任意n≥2的整数恒成立，知λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

对任意n≥2的整数恒成立，设Cn=

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，由n=2时，C_n的最小值C₂为

28

3

，能求出λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，an=

an-1

3an-1+1

（n≥2），
∴

1

an

=

1

an-1

+3，即

1

an

-

1

an-1

=3，

1

a1

=1，
∴{

1

an

}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴

1

an

=1+3（n-1）=3n-2，
∴an=

1

3n-2

．
（Ⅱ）∵an=

1

3n-2

．
λan+

1

an+1

≥λ对任意n≥2的整数恒成立，
∴λ（1-

1

3n-2

）≤3n+1对任意n≥2的整数恒成立，
∴λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

对任意n≥2的整数恒成立，
设Cn=

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，
则C_n+1-C_n=

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

＞0，
∴C_n+1＞C_n，
∵n=2时，C_n的最小值C₂为

28

3

，
∴λ的取值范围是（-∞，

28

3

]．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式和等价转化思想的合理运用．