Question

设x，y∈R，求证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜的充要条件是xy≥0.

 

Answer 1

答案：
解析：

分析：充分性即证：xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即证： ｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0. 证明：①充分性 若xy＝0，则有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0. 此时显然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜. 若xy＞0，则x，y同号. 当x＞0且y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜； 当x＜0且y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜ 综上所述，xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜. ②必要性 ∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R ∴(x＋y)2＝（｜x｜＋｜y｜）2 即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜·y2 xy＝｜xy｜xy≥0. 因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0. 故xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.