题目内容

已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，一个焦点坐标为F(-
3
，0)．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）点N是椭圆的左顶点，点P是椭圆C1上不同于点N的任意一点，连接
NP并延长交椭圆右准线与点T，求
TP
NP
的取值范围；
（3）设曲线C2：y=x2-1与y轴的交点为M，过M作两条互相垂直的直线与曲线C2、椭圆C1相交于点A、D和B、E，（如图），记△MAB、
△MDE的面积分别是S1，S2，当
S1
S2
=
27
64
时，求直线AB的方程．
分析：（1）先利用离心率和焦点坐标，得到一个关于参数的方程组，解这个方程组即可求出参数，进而求出椭圆C1的方程．
（2）由题设条件行求出N（-2，0），椭圆右准线：x=
4
3
3
，设P（x，y），则
TP
NP
=
4
3
3
-x
x+2
，再由-2≤x≤2，能求出
TP
NP
的取值范围．
（3）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．
解答：解：（1）∵椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，
一个焦点坐标为F(-
3
，0)，
∴
c
a
=
3
2
c=
3
，
∴a=2，c=
3
，b=
4-3
=1，
∴椭圆C1的方程为：
x2
4
+y2=1．
（2）∵N是椭圆C1：
x2
4
+y2=1的左顶点，点P是椭圆C1上不同于点N的任意一点，
∴N（-2，0），椭圆右准线：x=
4
3
3
，
设P（x，y），则
TP
NP
=
4
3
3
-x
x+2
，
∵-2≤x≤2，
∴
TP
NP
=
4
3
3
-x
x+2
∈[
2
3
-3
6
，+∞）．
故
TP
NP
的取值范围是[
2
3
-3
6
，+∞）．
（3）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x-1．
由
y=k1x-1
y=x2-1
，解得
x=0
y=-1
，或
x=k1
y=k12-1
．
则点A的坐标为（k1，k12-1）．
又直线MB的斜率为-
1
k1
，同理可得点B的坐标为（-
1
k1
，
1
k12
-1）．
于是S1=
1
2
|MA|•|MB|=
1
2
1+k12
•|k1|•
1+
1
k12
•|-
1
k1
|=
1+k12
2|k1|
．
由
y=k1x-1
x2+4y2-4=0
，得（1+4k12）x2-8k1x=0．
解得
x=0
y=-1
，或
x=
8k1
1+4k12
y=
4k12-1
1+4k12
，则点D的坐标为（
8k1
1+4k12
，
4k12-1
1+4k12
）．
又直线ME的斜率为-
1
k1
．同理可得点E的坐标为（
-8k1
1+4k12
，
4-k12
4+k12
）．
于是S2=
1
2
|MD|•|ME|=
32(1+k12)•|k1|
(1+4k12)(k12+4)
．
故
S1
S2
=
1
64
(4k12+
4
k12
+17)=
27
64
，解得k12=2，或k12=
1
2
．
又由点A，B的坐标得，k=
k12-
1
k12
k1+
1
k1
=k1-
1
k1
．所以k=±
2
2
．
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=
2
2
x和y=-
2
2
x．
点评：本题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查．是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，
1
7
）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
精英家教网已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一条准线方程是x=
25
4
，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连接AP交椭圆C1于点M，连接PB并延长交椭圆C1于点N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，直线l：y=x+2
2
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程．
（Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=
0.5
0.5
．
（2013•汕头一模）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
1
2

（1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
（2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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