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精英家教网已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一条准线方程是x=
25
4
，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连接AP交椭圆C1于点M，连接PB并延长交椭圆C1于点N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．
分析：（1）由已知
a2
c
=
25
4
b
a
=
3
5
c2=a2-b2
解得：
a=5
b=3
c=4
，由此能够求出椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率．
（2）由A（-5，0），B（5，0），设M(x0，y0)，则由
AM
=
MP
，得M为AP的中点，P点坐标为（2x0+5，2y0），将M、P坐标代入C1、C2方程得
x02
25
+
y02
9
=1
(2x0+5)2
25
-
y02
9
=1
，解之得P（10，3
3
)，直线PB：y=
3
3
5
(x-5)，由此能够求出
MN
•
AB
=0．
解答：精英家教网解：（1）由已知
a2
c
=
25
4
b
a
=
3
5
c2=a2-b2
解得：
a=5
b=3
c=4

∴椭圆的方程为
x2
25
+
y2
9
=1，双曲线的方程
x2
25
-
y2
9
=1．
又c′=
25+9
=
34
，
∴双曲线的离心率e2=
34
5
（5分）
（2）由（Ⅰ）A（-5，0），B（5，0），设M(x0，y0)，则由
AM
=
MP

得M为AP的中点，∴P点坐标为（2x0+5，2y0）
将M、P坐标代入C1、C2方程得
x02
25
+
y02
9
=1
(2x0+5)2
25
-
y02
9
=1
，
消去y0得2x02+5x0-25=0，
解之得x0=
5
2
或x0=-5(舍)，
由此可得P（10，3
3
)，直线PB：y=
3
3
10-5
(x-5)，
即y=
3
3
5
(x-5)
代入
x2
25
+
y2
9
=1得：2x2-15x+25=0，
∴x=
5
2
或5(舍)∴xN=
5
2
，∴xN=xM，
故MN⊥x轴，所以
MN
•
AB
=0（12分）
点评：本题考查椭圆方程及双曲线离心率的求法，计算
MN
•
AB
的值．解题时要熟练掌握解决直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，
1
7
）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，直线l：y=x+2
2
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程．
（Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=
0.5
0.5
．
（2013•汕头一模）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
1
2

（1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
（2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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