题目内容
已知函数F（x）=
，（x≠
），
（I）求F（
）+F（
）+…+F（
）的值；
（II）已知数列{an}满足a1=2，an+1=F（an），求证数列{
}是等差数列；
（III）已知bn=
，求数列{anbn}的前n项和Sn．
| 3x-2 |
| 2x-1 |
| 1 |
| 2 |
（I）求F（
| 1 |
| 2010 |
| 2 |
| 2010 |
| 2009 |
| 2010 |
（II）已知数列{an}满足a1=2，an+1=F（an），求证数列{
| 1 |
| an-1 |
（III）已知bn=
| 2n-1 |
| 2n |
分析：（I）由题意可得F（x）+F（1-x）=3，所以设S=F（
）+f（
）+…+F（
）倒序后相加即可得到结果．
（II）由a n+1=F（an）两边同减去1，得
=
=2+
，所以，{
}是以2为公差以1为首项的等差数列．
（III）利用条件可得anbn=
，它是一个等差数列与等比数列积的形式，利用错位相减可求数列的和．
| 1 |
| 2010 |
| 2 |
| 2010 |
| 2009 |
| 2010 |
（II）由a n+1=F（an）两边同减去1，得
| 1 |
| an+1-1 |
| 2an-1 |
| an-1 |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| an-1 |
（III）利用条件可得anbn=
| n |
| 2n-1 |
解答：解：（I）因F（x）+F（1-x）=
+
=3．------------------------------（2分）
所以设S=F（
）+f（
）+…+F（
）…（1）
S=F（
）+f（
）+…+F（
）…（2）
（1）+（2）得：2S=2009×[F（
）+F（
）]=3×2009=6027，
∴S=
．
（II）由a n+1=F（an）两边同减去1，得a n+1-1=
-1=
．---------（7分）
所以
=
=2+
所以，{
}是以2为公差以1为首项的等差数列．----（10分）
（III）因为
=2+(n-1)×2，
∴an=1+
=
．
因为bn=
，所以anbn=
------------------------------（12分）
Sn=
+
+…+
（3）
Sn=
+
+…+
（4）
由（3）-（4）得
Sn=
+
+…+
-
=2-
-
所以Sn=4-
-----------------------------（14分）
| 3x-2 |
| 2x-1 |
| 3(1-x)-2 |
| 2(1-x)-1 |
所以设S=F（
| 1 |
| 2010 |
| 2 |
| 2010 |
| 2009 |
| 2010 |
S=F（
| 2009 |
| 2010 |
| 2 |
| 2010 |
| 1 |
| 2010 |
（1）+（2）得：2S=2009×[F（
| 1 |
| 2010 |
| 2009 |
| 2010 |
∴S=
| 6027 |
| 2 |
（II）由a n+1=F（an）两边同减去1，得a n+1-1=
| 3an-2 |
| 2an-1 |
| an-1 |
| 2an-1 |
所以
| 1 |
| an+1-1 |
| 2an-1 |
| an-1 |
| 1 |
| an-1 |
所以，{
| 1 |
| an-1 |
（III）因为
| 1 |
| an-1 |
∴an=1+
| 1 |
| 2n-1 |
| 2n |
| 2n-1 |
因为bn=
| 2n-1 |
| 2n |
| n |
| 2n-1 |
Sn=
| 1 |
| 20 |
| 2 |
| 21 |
| n |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 21 |
| 2 |
| 22 |
| n |
| 2n |
由（3）-（4）得
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 20 |
| 1 |
| 21 |
| 1 |
| 2n-1 |
| n |
| 2n |
=2-
| 1 |
| 2n-1 |
| n |
| 2n |
所以Sn=4-
| 2+n |
| 2n-1 |
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和方法中的重点与难点，要注意掌握
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