Question

【题目】已知抛物线和的焦点分别为， 交于O,A两点（O为坐标原点），且

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点O的直线交的下半部分于点M，交的左半部分于点N，点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)8

【解析】试题分析：（1）由已知条件推导出，由 ，解得，结合点在抛物线上得到P=2.（2）设过O的直线方程为y=kx，联立，得M（），联立，得N（4k，4k2），由此利用点到直线的距离公式能求出△PMN面积表达式，再换元法求得函数的最值。

（1）设，有①，由题意知， ， ，

∴

∵ ，∴ ，有，

解得，

将其代入①式解得，从而求得，

所以的方程为.

（2）联立得，联立得，

从而，

点到直线的距离，进而

令，有，

当，即时，

即当过原点直线为时，△面积取得最小值.