Question

【题目】（本小题满分10分）如图，在长方体中，，，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）．

（1）若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度;

（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（１）或． （２）

【解析】

试题分析：（1）先建立空间直角坐标系，设，利用空间向量数量积可求两向量夹角：，解得或，因此或．

（2）求二面角，关键求出平面的法向量，设平面的一个法向量为，根据，可得，同理设平面的一个法向量为，根据可得，因此二面角满足：∴．

试题解析：（1）以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意，知,，

，，.设，

∴，.

设异面直线与所成角为，

则，

化简得：,解得：或，

或． 5分

（2）∵，∴，

,，,，

设平面的一个法向量为，

∴，∴，即，取，，

设平面的一个法向量为，

∴，∴，即，取，，

设平面与平面所成角为，

∴，

∴． １０分