Question

已知z是虚数，z+

4

z

是实数．
（1）求z对应复平面内动点A的轨迹；
（2）设u=3iz+1，求u对应复平面内动点B的轨迹；
（3）设v=

1

z

+z，求v对应复平面内动点C的轨迹．

Answer 1

分析：（1）由z∈R的性质可知，z=

.

z

，利用此知识，可得z+

4

z

∈R?z+

4

z

=

.

z+ 4 z

?

(z- . z )(z . z -4)

|z|2

=0，
因为z

.

z

=|z|2，可求得|z|²=4，即|z|=2．也可直接将设z=x+yi（x、y∈R）求解．
（2）由u=3iz+1得u-1=3iz，两边取模可得结论．
（3）因为z对应复平面内动点A的轨迹是中心在原点，半径等于2的圆，故可设z=2（cosθ+sinθ），（θ≠π），化简整理即可．

解答：解：（1）z+

4

z

∈R?z+

4

z

=

.

z+ 4 z

?

(z- . z )(z . z -4)

|z|2

=0，因为z是虚数，所以z-

.

z

≠0，于是|z|²=4，即|z|=2，且z≠±2，因此动点A轨迹是中心在原点，半径等于2的圆，但去掉两个点（2，0）与（-2，0）．
（2）由u=3iz+1得u-1=3iz．由（1）及题设知|z|=2，z≠±2，所以
|u-1|=6，且u-1≠±6i
因此动点B的轨迹是圆，中心在（1，0），半径等于6，但去掉两点（1，6）与（1，-6）
（3）设z=2（cosθ+sinθ），（θ≠π）则v=2（cosθ+isinθ）+

1

2(cosθ+isinθ)

=

5

2

cosθ+

3

2

isinθ
再令v=x+yi（x，y∈R），则

x= 5 2 cosθ y= 3 2 sinθ

，消去θ得

4x2

25

+

4y2

9

=1，其中x∈(-

5

2

，

5

2

)
所以动点C的轨迹是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆，a=

5

2

，b=

3

2

，去掉两点(-

5

2

，0)．(

5

2

，0)

点评：本题考查复数的运算、复数的集合意义，综合性较强，难度稍大．