Question

设x＞y＞z，n∈N，则

1

x-y

+

1

y-z

≥

n

x-z

恒成立，则n_max=

4

．

Answer 1

分析：由x＞y＞z，知x-y＞0，y-z＞0，x-z＞0，从而

1

x-y

+

1

y-z

≥

n

x-z

恒成立，即

x-z

x-y

+

x-z

y-z

≥n恒成立，等价于(

x-z

x-y

+

x-z

y-z

)min≥n，利用基本不等式可求得最小值．

解答：解：∵x＞y＞z，
∴x-y＞0，y-z＞0，x-z＞0，
∴

1

x-y

+

1

y-z

≥

n

x-z

恒成立，
即

x-z

x-y

+

x-z

y-z

≥n恒成立，等价于(

x-z

x-y

+

x-z

y-z

)min≥n，
∵

x-z

x-y

+

x-z

y-z

=

x-y+y-z

x-y

+

x-y+y-z

y-z

=

y-z

x-y

+

x-y

y-z

+2≥2

y-z x-y • x-y y-z

+2=4，
当且仅当y-z=x-y，即2y=x+z时取得等号，
∴(

x-z

x-y

+

x-z

y-z

)min=4，
∴n≤4，
即n_max=4，
故答案为：4．

点评：本题考查基本不等式的应用及恒成立问题，恒成立问题常转化为最值解决，使用基本不等式求最值注意条件：一正、二定、三相等．