Question

设x＞y＞z，n∈Z，且

1

x-y

+

1

y-z

≥

n

x-z

恒成立，则n的最大值是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：设x＞y＞z，n∈N，由柯西不等式知

1

x-y

+

1

y-z

≥

(1+1) 2

[(x-y)+(y-z)]

=

4

x-z

，要使

1

x-y

+

1

y-z

≥

n

x-z

恒成立，
只需

4

x-z

≥

n

x-z

，由此能求出n的最大值．

解答：解：设x＞y＞z，n∈N，
由柯西不等式知：

1

x-y

+

1

y-z

≥

(1+1) 2

[(x-y)+(y-z)]

=

4

x-z

要使

1

x-y

+

1

y-z

≥

n

x-z

恒成立，
只需

4

x-z

≥

n

x-z

，
所以n的最大值为4．
故选C．

点评：本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意柯西不等式的灵活运用．