题目内容
15．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1上的点到直线x-y+3$\sqrt{5}$=0的距离的最小值是$\sqrt{10}$．分析 设与直线x-y+3$\sqrt{5}$=0平行的直线方程为：x-y+c=0，与椭圆方程联立，消元，令△=0，可得c的值，求出两条平行线间的距离，即可求得椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1一点P到直线x-y+3$\sqrt{5}$=0的距离最小值．
解答 解：设与直线x-y+3$\sqrt{5}$=0平行的直线方程为：x-y+c=0，与椭圆方程联立，消元可得5x2+8cx+4c2-4=0
令△=64c2-20（4c2-4）=0，可得c=±$\sqrt{5}$，
∴两条平行线间的距离为$\frac{|±\sqrt{5}-3\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{10}$或$\sqrt{10}$，
∴椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1上的点到直线x-y+3$\sqrt{5}$=0的距离的最小值是：$\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．
点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出与直线x-y+3$\sqrt{5}$=0平行，且与椭圆相切的直线方程．
练习册系列答案
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17．函数y=-2cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）在区间（$\frac{28}{5}$π，a]上是单调函数，则实数a的最大值为（ ）
| A． | $\frac{17π}{3}$ | B． | 6π | C． | $\frac{20π}{3}$ | D． | $\frac{22π}{3}$ |
6．P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则（ ）
| A． | 直线PA1与PA2的斜率之和为定值$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$ | |
| B． | 直线PA1与PA2的斜率之积为定值$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$ | |
| C． | 直线PA1与PA2的斜率之和为定值$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$ | |
| D． | 直线PA1与PA2的斜率之积为定值$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$ |
如图，F是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，|OF|=$\sqrt{5}$，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，△OP0Q0的面积为$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．