Question

10．已知离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点A（2，0）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且S_△AMN=$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，求直线l的一般方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得a=2，运用离心率公式和a，b，c的关系，解得b，即可得到所求椭圆的方程；
（Ⅱ）求得椭圆的右焦点F（1，0），由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，求得A到直线的距离，再由三角形的面积公式，计算可得斜率，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2，
可得c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）椭圆的右焦点F（1，0），由题意可得直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，可得
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由弦长公式可得|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{4}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
A（2，0）到直线kx-y-k=0的距离为d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
即有S_△AMN=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}$•$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$•$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，
解得k=±1，
即有直线的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，运用离心率公式和a，b，c的关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．