题目内容

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线 $数学公式$ 的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点 $数学公式$ 的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解：（1）设椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，由已知得b=1．
设右焦点为（c，0），由题意得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴a²=b²+c²=3．
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）直线l的方程y=kx+ $\text{[math]}$ ，代入椭圆方程，得
（1+3k²）x²+9kx+ $\text{[math]}$ =0．
由△=81k²-15（1+3k²）＞0得 $\text{[math]}$ ，
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ，
设M、N的中点为P，则点P的坐标为 $\text{[math]}$ ．
∵|BM|=|BN|，∴点B在线段MN的中垂线上．
$\text{[math]}$ ，化简，得 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
所以，存在直线l满足题意，直线l的方程为
$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，由已知得b=1．设右焦点为（c，0），由题意得 $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆的方程．
（2）直线l的方程y=kx+ $\text{[math]}$ ，代入椭圆方程，得（1+3k²）x²+9kx+ $\text{[math]}$ =0．由△=81k²-15（1+3k²）＞0得 $\text{[math]}$ ，设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ，设M、N的中点为P，则点P的坐标为 $\text{[math]}$ ．由此入手能够导出直线l的方程．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．