Question

【题目】如图，在四棱锥中，是边长为2的正方形，平面平面，直线与平面所成的角为，.

（1）若，分别为，的中点，求证：直线平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由平面平面得到平面，从而，根据，得到平面，得到，结合，得到平面；

（2）为原点，建立空间坐标系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，得到法向量之间的夹角余弦，从而得到二面角的正弦值.

（1）证明：∵平面平面，平面平面，

，平面，

∴平面，

则为直线与平面所成的角，为，

∴，

而平面，

∴

又，为的中点，

∴，

平面，

则平面，

而平面

∴，

又，分别为，的中点，

则，

正方形中，，∴，

又平面，，

∴直线平面；

（2）解：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，

过作的平行线为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量为，

则，即，

取，得；

设平面的法向量为，

则，即，

取，得.

∴.

∴二面角的正弦值为.