题目内容
【题目】椭圆
的顶点为
，左、右焦点分别为
、
，过点A且斜率为
的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）M为椭圆C上一动点，
是椭圆C长轴上的一个点，直线MQ与椭圆C的另一个交点为N，令
，若t值与点M的位置无关，则称此时的点Q为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
和
【解析】
（1）由题意可得
，直线
，联立即可求出
，再求出
即可得解；
（2）当直线斜率不为0时，设直线MQ
，
，
，联立方程得
，
，转化条件
，
，则
，化简即可得解，再验证对于
依然成立即可.
（1）
点B在x轴上的射影恰好为点
，椭圆顶点为
，
，
，
，直线，
解得或
（舍去），
.
椭圆C的标准方程为.
（2）当直线斜率不为0时，设直线MQ，，，不妨设
，
则
，消去
得
，
，
则，，
由弦长公式得，，
，
当
即
时，
为定值
.
又 当，直线MQ方程为
时，
或
，
.
该椭圆稳定点为和.
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