Question

如图，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC且EA=AB=2a，DC=a，F，G，H分别是EB，AB和BC的中点．求证：
（1）FG∥平面AEDC；
（2）平面AEDC∥平面FGH
（3）FD∥平面ABC．

Answer 1

分析：（1）证FG∥平面AEDC，只要证明FG∥AE，且AE?平面AEDC，FG?平面AEDC即可；
（2）证平面AEDC∥平面FGH，只要证明平面FGH内的FG∥平面AEDC，GH∥平面AEDC，且FG∩GH=G即可；
（3）证FD∥平面ABC，只要证明FD∥GC，且FD?平面ABC，GC?平面ABC即可，由FG∥DC，且FG=DC，得四边形FGCD是平行四边形，可证得．

解答：证明：（1）∵F，G分别是EB，AB的中点，∴FG为△EAB的中位线，∴FG∥AE；
又AE?平面AEDC，FG?平面AEDC，
∴FG∥平面AEDC；
（2）∵G，H分别是AB和BC的中点，∴HG为△CAB的中位线，∴HG∥AC；
又AC?平面AEDC，HG?平面AEDC，∴GH∥平面AEDC；
由（1）得FG∥平面AEDC，且FG∩GH=G，FG?平面FGH，GH?平面FGH；
∴平面AEDC∥平面FGH；
（3）∵FG为△EAB的中位线，∴FG=

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AE=a，且FG∥EA；
∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，∴EA∥DC；
∴FG∥DC，又FG=DC=a，
∴四边形FGCD是平行四边形，
∴FD∥GC，又FD?平面ABC，GC?平面ABC，
∴FD∥平面ABC．

点评：本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定知识，熟练地掌握线面平行、面面平行的判定方法是解答本题的关键．