Question

如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是

3

，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求三棱锥A₁-ABD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用三棱锥的体积计算公式即可算出．

解答：解：（1）证明：连接AB₁交A₁B于点0，连接OD．
∵O、D分别为中点，
∴OD是△ACB₁的中位线，
∴OD∥CB₁
又OD?平面A₁BD，CB₁?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是

3

，D是AC的中点．
∴S△ABD=

1

2

•1•

3

=

3

2

，
∴VA1-ABD=

1

3

•S△ABD•AA1=

1

3

•

3

2

•

3

=

1

2

．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理及三棱锥的体积计算公式是解题的关键．