题目内容

在数列{a_n}中， $数学公式$ ，当n≥2时，有3a_n-2a_n-1+n+2=0，设b_n=a_n+n+1．
（I）求b₁，b₂；
（II）证明数列{b_n-1}是等比数列；
（III）设 $数学公式$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

解：（I）∵ $\text{[math]}$ ，b_n=a_n+n+1∴ $\text{[math]}$
当n=2时，3a₂-2a₁+4=0可得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（II）由3a_n-2a_n-1+n+2=0得，3（a_n+n）=2（a_n-1+n-1）
$\text{[math]}$ ，n≥2即 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（III）由（I）可得 $\text{[math]}$
∴2b_n-1+1=3b_n，所以 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（I）由b_n=a_n+n+1及3a_n-2a_n-1+n+2=0把n=1，2分别代入可求
（II）由3a_n-2a_n-1+n+2=0得，3（a_n+n）=2（a_n-1+n-1）， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，从而可证
（III）由（I）可得 $\text{[math]}$ 从而可求 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而可利用裂项求和．
点评：本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，而定义法是证明数列为等比（等差）数列的常见方法，裂项求和是数列求和的重要方法，要注意掌握．