Question

（08年上虞市质量调测二理） 双曲线的离心率为，A，B两点在双曲线上，且，线段AB的垂直平分线过点Q(4，0).

   (I)设线段AB的中点为，求的值；

   (II)是否存在直线AB，使^? 请说明理由.

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）e=,故a=b,设双曲线方程为

线段AB的垂直平分线过点Q（4，0）,故

=

+＝0

A,B在双曲线上，故

，得－＝0

于是＝4, ＝2.

（Ⅱ）法一：，(k²-1)x²+2ktx+t²+a²=0.

==4,  kt=-2(k²-1)

^,故＝0，

得(1＋k²)(t²＋a²)－8(k²－1)²＋t²=0

2k²t²+k²a²+a²=8(k²－1)²

k²a²+a²=0,无解。即不存在是否存在直线AB，使^。

法二：双曲线的渐近线方程为y=±x，若A,B在双曲线的同一支上，则∠AOB<90º;

若A,B在双曲线的不同一支上，则∠AOB>90º.不存在是否存在直线AB，使^。