Question

如图ABCD和BEFC是边长为1正方形，P是BC上的一个动点，设CP=x函数f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

，参照如上信息，f（x）的图象的对称轴以及g（x）=4f（x）-9的零点个数是（　　）

• A．x=

  1

  2

  ，0
• B．x=1，2
• C．x=

  1

  2

  ，2
• D．x=1，0

Answer 1

分析：依题意，函数f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF≥AF，当A、P、F三点共线时f（x）取得最小值，从而可求得f（x）的图象的对称轴，进一步分析知，g（x）=4f（x）-9的零点个数是2个，从而可得答案．

解答：解：由题意得，函数f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF≥AF，
当A、P、F三点共线，即x=

1

2

时，f（x）取得最小值

5

＜

9

4

，
当P与B或C重合时，f（x）取得最大值

2

+1＞

9

4

．
∴x=

1

2

即为f（x）的图象的对称轴方程；
由g（x）=4f（x）-9=0，即f（x）=

9

4

知，
g（x）=4f（x）-9的零点个数就是f（x）=

9

4

的解的个数，
由题意知，f（x）=

9

4

的解的个数是两个．
综上所述，f（x）的图象的对称轴方程为x=

1

2

，g（x）=4f（x）-9的零点个数是2个．
故选：C．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，突出考查分类讨论思想与化归转化的数学思想，属中档题．