Question

（2011•许昌三模）如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直．
（1）求证：AF⊥平面CBF；
（2）求三棱锥C-BEF的体积．

Answer 1

分析：（1）利用平面和平面垂直的性质可得CB⊥平面ABEF，故有CB⊥AF．再由AF⊥BF，利用直线和平面垂直的判定定理证得AF⊥平面CBF．
（2）过点E，作EH⊥AB，H为垂足．利用直角三角形中的边角关系可得BF=

3

，∠BAF=60°，可得∠EBH=60°，BH=

1

2

，EH=

3

2

，EF=AB-2BH=1．
先求得△BEF的面积 S_△BEF=

1

2

•EF•BE•sin∠BEF 的值，再根据三棱锥C-BEF的体积为

1

3

•S_△BEF•BC，运算求得结果．

解答：解：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF．
而AF?平面ABEF，∴CB⊥AF．
再由AF⊥BF，CB∩BF=B，可得AF⊥平面CBF．
（2）过点E，作EH⊥AB，H为垂足．
直角三角形ABF中，由AB=2，AF=AD=1，可得BF=

3

，∠BAF=60°，∴∠EBH=60°．
在等腰梯形ABEF中，易得BH=

1

2

，EH=

3

2

，EF=AB-2BH=1．
∴△BEF的面积 S_△BEF=

1

2

•EF•BE•sin∠BEF=

1

2

×1×1×sin120°=

3

4

．
∴三棱锥C-BEF的体积为

1

3

•S_△BEF•BC=

1

3

×

3

4

1=

3

12

．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，直角三角形中的边角关系，求棱锥的体积，属于中档题．